数学高考压轴题

2024浙江名校开学考压轴题

$\qquad$对于一个四元整数集$A= \left\{ a,b,c,d \right\}$，如果它能划分成两个不相交的二元子集$\left\{a,b\right\}$和$\left\{c,d\right\}$，满足$ab-cd=1$，则称这个四元整数集为“有趣的”.

(1)写出集合$\left\{1，2，3，4，5，6，7，8\right\}$的一个“有趣的"四元子集：

(2)证明：集合$\left\{1,2,3，4，5，6，7，8\right\}$不能划分成两个不相交的“有趣的"四元子集：

(3)证明：对任意正整数$n (n≥2)$，集合$\left\{1,2,3，…，4n\right\}$不能划分成$n$个两两不相交的“有趣的"四元子集.

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证明：

思路

情况复杂，变化中寻找不变，例如总和、乘积、奇偶性等等。

$$ab - cd = 1.$$

说明$ab$，$cd$一奇一偶，进而$\left\{ a,b,c,d \right\}$中至少有两个奇数，且有两个奇数相乘。 又总共$2n$个奇数，所以$n$个有趣$4$元集中，各恰有两个奇数，且两个奇数相乘。

假设可以分成n个有趣四元集$S_i=\left\{a_i,b_i,c_i,d_i\right\}$，由上述分析，不妨设$a_i,b_i$是偶数，$c_i,d_i$是奇数，$i = 1,2,….,n$，则$a_i b_i-c_i d_i =\pm1$

思考

感受矛盾，大小有问题，奇数恰好对应着比偶数小1，奇数是不够的。

如何去刻画这种整体的矛盾？如果是$a_i b_i=c_i d_i$或者$a_i +b_i=c_i +d_i$，就十分容易，全部累乘或累加，矛盾显然.但此时的$a_i b_i-c_i d_i =\pm1$有加有乘且不确定。

回到关键式子$a_i b_i-c_i d_i =\pm1$，其实只比$a_i b_i=c_i d_i$差了一点，能否推出类似的式子，或稍弱一些的式子呢。可以适当放缩，但一定要形式好。 还是因为奇数恰好对应着比偶数小1，我们发现

因为$a_i b_i-c_i d_i =\pm1$，所以

$$a_i b_i-c_i d_i \leq c_i d_i +1 < (c_i +1)(d_i +1) .$$

将n个式子累乘，得

$$2\cdot 4\cdot \ \cdot\cdot\cdot \ \cdot (2n)=a_1 b_1 \cdot\cdot\cdot a_n b_n < (c_1+1)(d_1+1)\cdot\cdot\cdot=2\cdot 4\cdot \ \cdot\cdot\cdot \ \cdot (2n)$$

矛盾.